Você não precisa ter uma instalação do YOURLS para ter um encurtador de URL com o seu próprio domínio. Existem vários serviços online que permitem o uso de um domínio do usuário para encurtar os endereços. A maioria oferece recursos básicos como estatísticas nos planos gratuitos.
Bitly
Acesse a opção em Settings > Advanced settings > Branded short domain para adicionar o domínio.
Insira o domínio (pode ser um subdomínio também) no campo indicado. Em seguida, faça as alterações no DNS, criando um registro A apontando para os IPs indicados.
No Cloudflare seria algo como:
Se quiser usar um subdomínio como link.domin.io, substitua o @ pelo nome do subdomínio.
Aguarde alguns minutos ou algumas horas para que o Bitly verifique o domínio.
Depois deste período, haverá a opção de definir um domínio padrão para os links que serão encurtados daqui pra frente. Basta ir em Settings > Domain default e escolha o novo domínio.
Pronto, é isso.
Um porém e outras opções
Bem, o único problema do Bitly é que se você quiser customizar o endereço como domin.io/sorvete e já existir o bit.ly/sorvete, você não poderá usar. Para isso, é preciso ter uma conta Enterprise que custa umas centenas de dólares.
Se isso for um problema para você, existem outras opções bem bacanas e gratuitas que já testei como meu indico.vc.
Rebrandly
Grátis para um domínio, mas é necessário conectar com outros serviços para ter estatísticas mais detalhadas. O serviço conta com vários serviços integrados como o próprio Bitly, Goo.gl e outros. Tem a opção de uso de https e redirecionamento para a página inicial do domínio.
Rebrandly – https://rebrandly.com
Short.cm
O Short.cm tem recursos muito parecidos como Rebrandly, mas possui mais informações em seus relatórios. A configuração também é simples mas o sistema demora um pouco para atualizar os cliques.
Short.cm – https://short.cm
Po.st
Provavelmente o mais interessante, já que possui os recursos dos outros e também a opção de segmentar cada link por campanhas e tags. É uma ferramenta mais completa e inteiramente grátis. Vale a pena testar.
Po.st – https://po.st
Tr.im
Bem simples mas muito bacana, o Tr.im é gratuito e tem uma página de estatísticas decente. Suporta vários domínios personalizados.
Tr.im – https://tr.im
Vale lembrar que todos os serviços acima também funcionam como encurtadores de url e tem API.